DYSKRETNY UROK MATEMATYKI MATEMATYKA NIE TYLKO DLA MATEMATYKÓW

Dyskretny urok matematyki. Matematyka nie tylko dla matematyków

Książka przedstawia szerokie spojrzenie na matematykę, w tym na podstawy rachunku różniczkowego i całkowego oraz elementy matematyki współczesnej takie, jak teoria mnogości, teoria obliczeń czy teoria gier. Szczególny nacisk położono na konkretne interesujące problemy. Książka zawiera ponad 400 zadań, większość z rozwiązaniami. Dyskretny Urok Matematyki przeznaczony jest dla uczniów starszych klas szkół średnich zainteresowanych matematyką, dla ich nauczycieli i studentów pierwszego roku. Zaciekawi też z pewnością miłośników tej dyscypliny.

Co to jest matematyka? Czym zajmują się matematycy?

Rzeczy wstępne: zasada indukcji i granice 2

1 Zasada indukcji, sumowanie potęg i średnie 3
1.1 Odkrywanie wzorów i zasada indukcji   3

1.2 Sumowanie potęg  7

1.3 Średnie i nierówności 10
2 Granica ciągu 13
2.1 Intuicje i rachunki 14

2.2 Trochę teorii i algorytm Herona   18

2.3 Koło, kula i liczba π     21
2.4 Archimedes 25
I Narzędzia: pochodna i całka 26

3 Pochodna 27
3.1 Pochodna i jej interpretacje           27

3.2 Podstawowe wzory 30

3.3 Kartezjusz i Fermat   33
4 Trochę teorii: ciągłość i twierdzenie Lagrange’a 34
4.1 Ciągłość 34

4.2 Twierdzenia Lagrange’a i jego konsekwencje 36
4.3 Lagrange   39
5 Pierwsze zastosowania 40
5.1 Monotoniczność i ekstrema  40

5.2 Zagadnienia optymalizacyjne i izoperymetria      43
6 Całka oznaczona 46
6.1 Nieformalne wprowadzenie 46

6.2 Definicja i własności całki oznaczonej 50
6.3 Riemann 53
7 Całka nieoznaczona i wzór Newtona-Leibniza 55
7.1 Całka nieoznaczona 55

7.2 Wzór Newtona-Leibniza   58

7.3 Newton i Leibniz  61

I Kilka bardzo ważnych funkcji 63

8 Równania różniczkowe i funkcje przestępne 64
8.1 Eksponenta 65

8.2 Funkcje trygonometryczne 67
9 Logarytm naturalny i arcus tangens 71
9.1 Logarytm naturalny             71

9.2 Arcus tangens               73
10 Aproksymacje wielomianowe 76
10.1 Aproksymacje liniowe i wypukłość         77

10.2 Wzór Taylora i rozwinięcia Maclaurina        79
10.3 Dowód wzoru Taylora* 82
11 Reguły de l’Hˆopitala i liczba e 85
11.1 Reguły de l’Hˆopitala             85

11.2 Liczba e 88
11.3 Dwa dowody niewymierności 90
12 Techniki całkowania 92
12.1 Całkowanie przez podstawienie          92

12.2 Całkowanie przez części            96
13 Aproksymacje całkowe i wzór Stirlinga 99
13.1 Aproksymacja sumy harmonicznej i stała Eulera-Mascheroniego 99
13.2 Oszacowanie silni i wzór Stirlinga 101
III Nieskończone sumy i zdumiewające równości 103

14 Szeregi liczbowe 104
14.1 Szereg geometryczny  104

14.2 Szereg harmoniczny i szeregi pokrewne 109
14.3 Iloczyny nieskończone i liczba π  111
15 Szeregi potęgowe 113
15.1 Rozwijanie funkcji w szereg Maclaurina 114
15.2 Operacje na szeregach 116
16 Trzy niezwykłe równości 119
16.1 Wzór Mercatora i ln 2 119

16.2 Wzór Leibniza i obliczanie π 121
16.3 Szalone rachunki Leonharda Eulera* 125
16.4 Euler 126
17 Liczby zespolone i funkcje przestępne 128
17.1 Liczby zespolone 128

17.2 Liczby zespolone i funkcje przestępne 132
17.3 Logarytm zespolony i wzór Leibniza 13518 Szeregi Fouriera i ich zastosowania* 137
18.1 Szeregi Fouriera 137

18.2 Kwestie zbieżności 142

18.3 Fourier  147
Interludium I 148
IV Świat fizyczny, geometria i prawdopodobieństwo 149

19 Rozwój, zanik i oscylacje 150
19.1 Równanie rozpadu i jego warianty         150

19.2 Układy drgające              155

19.3 Bernoulli  158
20 Torus i trąbka 160
20.1 Zasada Cavalieriego i objętość brył obrotowych 160
20.2 Pole powierzchni obrotowej i trąbka Torricellego     164
21 Matematyka i kartografia 166
21.1 Odwzorowanie walcowe Lamberta i twierdzenie Archimedesa  166
21.2 Odwzorowanie Merkatora 168
22 Igła Buffona i wybór sekretarki 170
22.1 Prawdopodobieństwo geometryczne i igła Buffona     170
22.2 Problem sekretarki 173
23 Zmienna losowa, rozkład dwumianowy i błądzenie losowe 176
23.1 Zmienna losowa i jej rozkład 176

23.2 Miary rozproszenia i nierówność Czebyszewa 178
23.3 Rozkład dwumianowy i aproksymacja gaussowska     181
23.4 Błądzenie losowe   185
V Dyskretny urok arytmetyki wyższej 187

24 Euklides, Euklides, Euklides 188
24.1 Algorytm Euklidesa i jego konsekwencje 188
24.2 Twierdzenie Euklidesa i sito Eratostenesa       192
25 Kongruencje i ich zastosowania 195
25.1 Kongruencje 195

25.2 Dwa klasyczne twierdzenia: Wilsona i Fermata 198
25.3 Rozpoznawanie pierwszości: test Fermata       200
25.4 O tasowaniu kart  203
26 Funkcja Eulera i pierwiastki pierwotne 205
26.1 Funkcja Eulera i twierdzenie Eulera 205
26.2 Pierwiastki pierwotne i reszty kwadratowe       208
26.3 Liczby Fermata i twierdzenie Dirichleta 21027 Protokoły kryptograficzne 212
27.1 Szyfry symetryczne i uzgadnianie klucza 213
27.2 RSA 215
28 Kilka pytań o liczby pierwsze 219
28.1 Hipoteza Goldbacha i jej warianty         219
28.2 Liczby bliźniacze i tematy pokrewne 221
28.3 Twierdzenie Czebyszewa i hipoteza Sierpińskiego     222
29 Rozmieszczenie liczb pierwszych 225
29.1 Zeta Riemanna i twierdzenie Eulera 225
29.2 Twierdzenie o rozmieszczeniu liczb pierwszych i hipoteza Rie-
manna    228
30 Twierdzenie Lagrange’a o sumie czterech kwadratów 231
30.1 Lemat Minkowskiego i twierdzenie Fermata-Eulera 232
30.2 Twierdzenia Lagrange’a    235
31 Sumy potęg i liczby wielokątne 238
31.1 Sumy potęg i twierdzenie Hilberta-Waringa 238
31.2 Liczby wielokątne i twierdzenie Cauchy’ego 240
31.3 Gauss                 242
32 Równania diofantyczne 243
32.1 Równania Pitagorasa i Fermata          244

32.2 Równanie Pella i problem trzody Heliosa 248
32.3 Wiles   251
VI Między kombinatoryką, geometrią i algebrą 253

33 Grafy, drzewa i wzór Eulera 254
33.1 Ekspresem przez teorię grafów 254
33.2 Grafy planarne i wzór Eulera 258
34 Twierdzenie Picka i kolorowanie map 262
34.1 Twierdzenie Picka i wielokąty na kracie 262
34.2 Twierdzenie o czterech barwach i kolorowanie grafów    264
34.3 Dwa zadania o podziale   266
35 Wielokąty foremne i parkietaże 269
35.1 Wielokąty foremne 269

35.2 Parkietaże płaszczyzny 271

35.3 Upakowania na płaszczyźnie  273

35.4 Gardner i Escher    275
36 Wielościany, parkietaże i upakowania przestrzeni 276
36.1 Wielościany platońskie i archimedesowe 276
36.2 Parkietaże i upakowania w przestrzeni        28037 Liczby zespolone i konstrukcje geometryczne 282
37.1 Postać trygonometryczna i wzór de Moivre’a      282
37.2 Konstrukcje wielokątów foremnych         286
37.3 Trzy klasyczne problemy konstrukcyjne 288
37.4 Euklides i jego Elementy   291
38 Przekroje i krzywe stożkowe 292
38.1 Przekroje wielościanów platońskich         292
38.2 Przekroje stożka i krzywe stożkowe         294
38.3 Krzywe stożkowe a równania algebraiczne       298
39 Czwarty wymiar i wyżej 301
39.1 Hipersześcian i inne wielokomórki 301
39.2 Osobliwości wyższych wymiarów 303

39.3 Poincar ́e 305
VII Twierdzenia o istnieniu i gry matematyczne 306

40 Być albo nie być, czyli kwestie istnienia 307
40.1 Zasada szufladkowa 308

40.2 Kolorowanie, parzystość i polimina         311
40.3 Erd ̋os     314
41 Punkty, proste i twierdzenie Sylvestera 315
41.1 Punkty i odległości 315

41.2 Proste twierdzenie o prostych 317
42 Twierdzenia ramseyowskie 319
42.1 Gra w trójkąty i liczby Ramseya 319

42.2 Twierdzenie van der Waerdena          322
43 Trzy gry Conwaya: kropki, krzyżyki i żołnierze 326
43.1 Kropki i krzyżyki              326

43.2 Żołnierze Conwaya 328

43.3 Conway 330
44 NIM i funkcja Grundy’ego 331
44.1 NIM 331

44.2 Funkcja Grundy’ego i NIM Wythoffa 335

44.3 Gry z niepełną informacją*   338

44.4 Von Neumann   342
Interludium II 343
VIII Nieskończoność, nieobliczalność i niezupełność 345

45 Przeliczalność, nieprzeliczalność i liczby przestępne 346
45.1 Zbiory przeliczalne i zbiory nieprzeliczalne       347
45.2 Liczby kardynalne i twierdzenie Cantora 34945.3 O liczbach przestępnych            351

45.4 Cantor i Hilbert   353
46 Granice obliczalności i problem stopu 354
46.1 Obliczalność i rozstrzygalność 354
46.2 Funkcja Rado i problem stopu 358

46.3 Turing    361
47 Arytmetyka Peana i twierdzenie G ̈odla 362
47.1 Arytmetyka jako system formalny 363
47.2 Twierdzenie G ̈odla 365

47.3 Peano i G ̈odel  369
48 Teoria ZF, pewnik wyboru i hipoteza continuum 370
48.1 Aksjomaty teorii mnogości 370

48.2 Hipoteza continuum i jej uogólnienia 372
48.3 Sierpiński, Banach i Tarski   373
O polskiej szkole matematycznej 375

Odpowiedzi i wskazówki 377