KONSTRUOWANIE I ZASTOSOWANIA GŁADKICH POTENCJAŁÓW W MODELACH IZOTROPOWYCH MATERIAŁÓW NIELINIOWO SPRĘŻYSTYCH, PLASTYCZNYCH I HIPERSPRĘŻYSTYCH

Konstruowanie i zastosowania gładkich potencjałów w modelach izotropowych materiałów nieliniowo sprężystych, plastycznych i hipersprężystych
Autor: Aleksander Szwed

Praca dotyczy modelowania konstytutywnego właściwości sprężystych i plastycznych materiałów izotropowych w ramach teorii małych odkształceń oraz właściwości materiałów hipersprężystych w ramach skończonych deformacji. Rozpatrywane opisy konstytutywne bazują na dwóch odpowiednio gładkich potencjałach, jednym do definicji właściwości sprężystych i drugim do określenia właściwości plastycznych. Zaproponowano metodyczne podejście do konstrukcji gładkich powierzchni plastyczności lub potencjałów konstytutywnych dogodnych w implementacji numerycznej modeli materiałowych.

SPIS TREŚCI
Spis ważniejszych oznaczeń 9
1. Wprowadzenie 13
2. Modelowanie konstytutywne w ramach nieliniowej teorii sprężystości, plastyczności
i hipersprężystości 19
2.1. Funkcje skalarne i tensorowe symetrycznego tensora drugiego rzędu 20
2.1.1. Niezmienniki symetrycznego tensora drugiego rzędu 20
2.1.2. Pochodne niezmienników i funkcje tensorowe drugiego rzędu 23
2.1.3. Pochodne tensorów drugiego rzędu i funkcje tensorowe czwartego rzędu 25
2.2. Podstawowe pojęcia, opisy i zależności mechaniki ośrodka ciągłego 27
2.2.1. Konfiguracje i opis ruchu ciała odkształcalnego 28
2.2.2. Deformacja i odkształcenie ciała 30
2.2.3. Naprężenia w odkształconym ciele 33
2.2.4. Obiektywność pól tensorowych i ich pochodnych 35
2.2.5. Zasady zachowania i prawa termodynamiki 37
2.2.6. Modelowanie właściwości mechanicznych materiałów 40
2.3. Nieliniowa sprężystość określona potencjałem 42
2.4. Idealna plastyczność definiowana potencjałami 47
2.4.1. Zastosowanie funkcji dyssypacji 48
2.4.2. Plastyczność zdefiniowana potencjałem plastyczności 51
2.5. Schemat formułowania relacji konstytutywnych sprężysto-plastyczności 53
2.6. Modelowanie materiałów hipersprężystych na podstawie energii sprężystej 56
3. O uporządkowaniu pierwiastków wybranych równań algebraicznych 59
3.1. Równanie przecinających się prostych 59
3.2. Równanie dwóch równoległych prostych 60
3.3. Opis trójkątów równobocznych 63
3.4. Równania kwadratów 66
3.5. Opis rombu 70
3.6. Równania sześcioboków foremnych 73
3.7. Opis sześcioboku o trzech osiach symetrii 77
4. Metoda konstrukcji gładkich funkcji kształtu 83
4.1. Krzywe drugiego i czwartego stopnia o dwóch lub czterech osiach symetrii 84
4.2. Regularyzacja hiperboliczna połączenia przecinających się prostych 85
4.3. Regularyzacja eliptyczna prostych równoległych 86
4.4. Reprezentacja krzywych czwartego stopnia o symetrii kwadratu 89
6
4.5. Krzywe w postaci wygładzonego rombu 94
4.6. Krzywe trzeciego i szóstego stopnia o trzech lub sześciu osiach symetrii 99
4.7. Reprezentacja krzywych z trzema osiami symetrii 101
4.8. Wygładzenie sześcioboków foremnych 105
4.9. Krzywe w kształcie wygładzonego sześcioboku o trzech osiach symetrii 107
5. Konstrukcje potencjałów w jednowymiarowej nieliniowej sprężystości 112
5.1. Materiał mięknący o symetrycznym zachowaniu 113
5.2. Model materiału usztywniającego się o symetrycznym zachowaniu 118
5.3. Materiał wzmacniający się o symetrycznym zachowaniu 120
5.4. Model mięknącego materiału o niesymetrycznym zachowaniu 123
5.5. Model usztywniającego się materiału o niesymetrycznym zachowaniu 127
5.6. Model materiału o dwuetapowym zachowaniu 128
5.7. Materiał o różnych modułach na rozciąganie i ściskanie 131
6. Konstrukcje potencjałów w ramach teorii nieliniowej sprężystości 136
6.1. Uogólnienie na cześć kulistą jednowymiarowego modelu materiału mięknącego 137
6.2. Uogólnienie na część dewiatorową jednowymiarowego materiału mięknącego 139
6.3. Wybrane uogólnienia modeli jednowymiarowych na modele przestrzenne 141
6.4. Asymetryczny, podwójnie asymptotyczny model nieliniowej sprężystości 144
6.5. Dualne potencjały i relacje konstytutywne nieliniowego materiału sprężystego
ze sprzężeniem stanów kulistych i dewiatorowych 148
6.6. Relacja konstytutywna materiału o r óżnych modułach sztywności objętościowej 154
6.7. Model materiału o różnych modułach sztywności postaciowej 159
7. Wybrane zastosowania modeli nieliniowej sprężystości 166
7.1. Aplikacja związków jednowymiarowych w prętach obciążonych osiowo 167
7.2. Belki z materiałów nieliniowo sprężystych 169
73. Rozwiązania zagadnień brzegowych belek nieliniowo sprężystych 174
7.3.1. Rozwiązanie belki swobodnie podpartej obciążonej siłą w środku 175
7.3.2. Rozwiązania numeryczne aluminiowych belek swobodnie podpartych 179
7.4. Model nieliniowej sprężystości stopów aluminium 182
7.4. 1. Funkcji jednostkowej energii sprężystej 182
7.4.2. Cechy relacji konstytutywnej nieliniowej sprężystości 184
7.4.3. Tensory sztywności siecznej i stycznej materiału 186
7.4.4. Wyznaczenie parametrów materiałowych 187
7.5. Implementacja modelu stopów aluminium w środowisku Abaqus 189
7.5.1. Pręt obciążony ciężarem własnym 190
7.5.2. Stateczność globalna pręta z imperfekcją kształtu 192
8. Konstrukcje potencjałów do opisu plastyczności 194
8.1. Warunek plastyczności i relacje konstytutywne metali porowatych 196
8.1.1. Definicja warunku plastyczności 196
8.1.2. Relacja konstytutywna plastyczności i funkcja dyssypacji 198
8.1.3. Wyznaczenie parametrów modelu i płaski stan naprężenia 200
8.1.4. Relacja konstytutywna sprężysto-plastyczności 203
8.2. Gładki warunek plastyczności żeliwa 203
8.2.1. Kształt przekrojów dewiatorowego i południkowego powierzchni 205
8.2.2. Wyznaczenie parametrów i prezentacja graficzna powierzchni 206
7
8.3. Konstrukcje gładkich otwartych powierzchni obrotowych 209
8.3.1. Wygładzenie powierzchni stożkowej Druckera-Pragera 209
8.3.2. Powierzchnia złożona z części dwóch stożków lub hiperboloid 210
8.3.3. Wygładzenie powierzchni złożonej z dwóch stożków lub hiperboloid 212
8.4 Gładkie nieobrotowe otwarte powierzchnie plastyczności o zmiennym przekroju
dewiatorowym 214
8.4.1. Gładkie funkcje kształtu przekrojów dewiatorowych 214
8.4.2. Powierzchnie złożone z dwóch stożków albo hiperboloid nieobrotowych 217
8.4.3. Wygładzone powierzchnie złożone z dwóch stożków albo hiperboloid 218
8.5. Konstrukcje gładkich zamkniętych powierzchni plastyczności 219
8.6. Konstrukcje potencjałów dyssypacji zależnych od trzech niezmienników 223
8.6.1. Dyssypacja dla obrotowych warunków plastyczności 224
8.6.2. Dyssypacja zależna od trzech niezmienników 227
8.6.3. Wybrane modyfikacje dyssypacji zależnej od trzech niezmienników 232
9. Potencjały i relacje konstytutywne hipersprężystości 234
9.1. Model jednowymiarowy z regularyzacją dwoma parametrami 235
9.2. Model przestrzenny materiału nieściśliwego 242
9.3. Model konstytutywny hipersprężystości izotropowego aluminium 255
9.3.1. Jednostkowa energia sprężysta 256
9.3.2. Relacja konstytutywna materiału hipersprężystego 258
9.3.3. Tensory stycznej sztywności materiału 259
9.3.4. Wyznaczenie parametrów materiałowych dla stopów aluminium 263
10. Podsumowanie 266
Literatura 270
Streszczenie 281
Summary. Construction and application of smooth potentials in models of nonlinearly elastic,
plastic and hyperelastic isotropic materials 283