ALGEBRA Z GEOMETRIĄ MARKOWE WYKŁADY Z MATEMATYKI

Podręczniki serii Markowe wykłady z matematyki dają całościowy obraz matematyki wykładanej na uniwersytetach i politechnikach. Autor przedstawia w nich najważniejsze pojęcia i metody, przy czym szczególny nacisk kładzie na ciekawe problemy.
Algebra z geometrią – trzeci tom tej serii – to podstawowy wykład geometrii analitycznej i algebry liniowej oraz wprowadzenie do algebry abstrakcyjnej. W szczególności Czytelnik poznaje:
– liczby zespolone
– rachunek macierzowy
– podstawowe struktury algebraiczne
– elementy teorii Galois
– liczne zastosowania m.in. do wyznaczania rangi stron www,
teorii kodowania i procesów Markowa.
Algebra z geometrią to kontakt z matematyką niemal współczesną. Krótko mówiąc prawdziwa matematyka dla (prawie) wszystkich.

SPIS TREŚCI

I. Liczby zespolone i równania

1. Liczby zespolone
1.1 Działania na liczbach zespolonych
1.2 Interpretacja geometryczna
1.3 Matematycy włoskiego renesansu

2. Wzór de Moivre‘a i pierwiastki z jedności
2.1 Postać trygonometryczna i wzór de Moivre‘a
2.2 Pierwiastki n-tego stopnia
2.3 Pierwiastki z jedności a wielokąty foremne*

3. Wielomiany i Zasadnicze Twierdzenie Algebry
3.1 Wielomiany
3.2 Zasadnicze Twierdzenie Algebry
3.3 Równania algebraiczne trzeciego stopnia*

4. Prosta i krzywe stożkowe
4.1 Równanie prostej i równanie okręgu
4.2 Krzywe stożkowe
4.3 Stożkowe a równania

5. Trzeci wymiar
5.1 Wektory
5.2 Proste i płaszczyzny
5.3 Euklides i jego Elementy

II. Układy równań liniowych, macierze i wyznaczniki

6. Układy równań liniowych i metoda eliminacji
6.1 Układy oznaczone
6.2 Układy sprzeczne i nieoznaczone

7. Macierze
7.1 Algebra macierzy
7.2 Macierz odwrotna
7.3 Odwracanie macierzy a metoda eliminacji

8. Wyznaczniki
8.1 Określenie wyznacznika i najprostsze obliczenia
8.2 Własności wyznaczników
8.3 Dwa bardzo ważne twierdzenia

9. Rozwinięcie Laplace‘a i jego konsekwencje
9.1 Rozwinięcie Laplace‘a
9.2 Wzór na macierz odwrotną
9.3 Wzory Cramera
9.4 Takakazu Sęki

10. Pola, objętości i wyznaczniki
10.1 Pole równoległoboku i orientacja płaszczyzny
10.2 Iloczyn wektorowy
10.3 Iloczyn mieszany i objętość równoległościanu
10.4 Matematycy z Wysp: Hamilton i Cayley

III. Przestrzenie liniowe i układy równań

11. Przestrzenie liniowe
11.1 Określenia i przykłady
11.2 Podprzestrzenie liniowe

12. Niezależność, baza i wymiar
12.1 Kombinacje liniowe i niezależność
12.2 Baza i wymiar
12.3 Banach

13. Układy równań i podprzestrzenie liniowe R"
13.1 Rząd macierzy
13.2 Podprzestrzenie afiniczne i twierdzenie Kroneckera-Capellego
13.3 Grassmann

14. Iloczyn skalarny i przestrzenie euklidesowe
14.1 Iloczyn skalarny i norma
14.2 Ortogonalność i kąty
14.3 Bazy ortonormalne i ortogonalizacja Grama-Schmidta
14.4 Hilbert

15. Rzut ortogonalny i metoda najmniejszych kwadratów*
15.1 Rzut ortogonalny
15.2 Metoda najmniejszych kwadratów

IV. Przekształcenia liniowe i ortogonalne

16. Przekształcenia liniowe
16.1 Określenia i przykłady
16.2 Przekształcenia liniowe a macierze
16.3 Jądro i obraz przekształcenia liniowego

17. Wektory własne, diagonalizacja i potęgowanie macierzy
17.1 Wektory i wartości własne, wielomian charakterystyczny
17.2 Diagonalizacja i potęgowanie macierzy

18. Zastosowania diagonalizacji i wektorów własnych
18.1 Sieci i rankingi
18.2 Dyskretne układy dynamiczne i procesy Markowa
18.3 Układy równań różniczkowych

19. Przekształcenia ortogonalne
19.1 Przekształcenia i macierze ortogonalne
19.2 Przekształcenia ortogonalne na płaszczyźnie
19.3 Przekształcenia ortogonalne w przestrzeni

V. Grupy i symetrie

20. Symetrie figur i pojęcie grupy
20.1 Symetrie figur i grupy przekształceń
20.2 Ogólne pojęcie grupy
20.3 Kilka prostych, ale ważnych twierdzeń

21. Podgrupy, iloczyny i twierdzenie Lagrange‘a
21.1 Podgrupy
21.2 Grupy cykliczne i iloczyn grup
21.3 Twierdzenie Lagrange‘a i rozbicia na warstwy
21.4 Noether i van der Waerden

22. Izomorfizm i struktura grup
22.1 Izomorfizm
22.2 Generatory i relacje*

23. Grupy permutacji i symetrie wielościanów
23.1 Permutacje i grupa symetryczna Sn
23.2 Parzystość permutacji i grupy alternujące An
23.3 Symetrie wielościanów platońskich

24. Dzielniki normalne, homomorfizmy i grupy ilorazowe*
24.1 Elementy sprzężone i dzielniki normalne
24.2 Grupy proste
24.3 Homomorfizmy i grupy ilorazowe

25. Lemat CFB i skończone grupy symetrii
25.1 Lemat o orbitach i lemat CFB
25.2 Skończone grupy symetrii

VI. Pierścienie, ciała i teoria Galois

26. Pierścienie, ciała i wielomiany
26.1 Pierścienie i ciała
26.2 Pierścienie wielomianów

27. Pierścienie ilorazowe i ciała skończone
27.1 Konstrukcja
27.2 Kwestie istnienia

28. Ciała skończone i teoria kodowania
28.1 Kod Hamminga
28.2 Kody BCH

29. Wprowadzenie do teorii Galois
29.1 Rozszerzenia ciała liczb wymiernych
29.2 Automorfizmy ciał i grupa Galois
29.3 Galois

30. Nierozwiązywalne równania i niewykonalne konstrukcje
30.1 Nierozwiązalność równań piątego stopnia
30.2 Konstrukcje geometryczne
30.3 Abel

Odpowiedzi i wskazówki

Indeks