ALGEBRA LINIOWA I GEOMETRIA ANALITYCZNA

Algebra liniowa i geometria analityczna
Autorzy: Anna Mućka, Ewa Zadrzyńska-Piętka

Skrypt ten został napisany z myślą o ułatwieniu studentom Wydziału Inżynierii Lądowej Politechniki Warszawskiej nauki przedmiotu pod nazwą Algebra z geometrią. Jednakże ze względu na swoją zawartość może też być wykorzystywany przez studentów innych kierunków technicznych.
Skrypt powstał na podstawie wykładów i ćwiczeń prowadzonych od wielu lat na Wydziale Inżynierii Lądowej przez różne osoby – w tym autorki. Składa się on z dziesięciu rozdziałów, z których ostatni zawiera odpowiedzi do zadań, a wcześniejsze dotyczą kolejno: liczb zespolonych, wielomianów rzeczywistych i zespolonych, macierzy i wyznaczników, układów równań liniowych, przestrzeni liniowych, przekształceń liniowych, wartości i wektorów własnych macierzy, form kwadratowych i geometrii analitycznej w przestrzeni. Z wielomianami rzeczywistymi, układami dwóch równań liniowych z dwiema niewiadomymi i geometrią analityczną na płaszczyźnie większość początkujących studentów zetknęła się już w szkole średniej, natomiast pozostały materiał skryptu jest dla nich zupełnie nowy.

Spis treści
Przedmowa 7
1 Liczby zespolone 9
1.1 Podstawowe definicje i własności 9
1.2 Postać kartezjańska (algebraiczna) liczby zespolonej 11
1.3 Postać trygonometryczna liczb zespolonych 12
1.4 Zadania 21
2 Wielomiany 25
2.1 Wielomiany zespolone 25
2.2 Zadania 27
3 Macierze 29
3.1 Podstawowe definicje i działania na macierzach 29
3.2 Wyznacznik macierzy kwadratowej 33
3.3 Macierz odwrotna 38
3.4 Zadania 40
4 Układy równań liniowych 43
4.1 Podstawowe definicje 43
4.2 Metoda eliminacji Gaussa i twierdzenie Kroneckera-Capellego 45
4.3 Układ Cramera 51
4.4 Zadania 51
5 Przestrzenie liniowe 53
5.1 Pojęcie przestrzeni liniowej 53
5.2 Podprzestrzeń liniowa 55
5.3 Liniowa niezależność wektorów 57
5.4 Baza i wymiar przestrzeni liniowej 59
5.5 Zadania 61
6 Przekształcenia liniowe 63
6.1 Podstawowe definicje 63
6.2 Macierz przekształcenia liniowego 65
6.3 Zadania 68
7 Wartości i wektory własne 69
7.1 Zadania 76
8 Formy kwadratowe 79
8.1 Zadania 83
5
9 Geometria analityczna w przestrzeni 85
9.1 Wektory w przestrzeni trójwymiarowej 85
9.2 Płaszczyzna w przestrzeni 92
9.3 Prosta w przestrzeni 99
9.4 Powierzchnie w R3 108
9.5 Zadania 116
10 Odpowiedzi do zadań 121
1. Liczby zespolone 121
2. Wielomiany 123
3. Macierze 123
4. Układy równań liniowych 124
5. Przestrzenie liniowe 124
6. Przekształcenia liniowe 125
7. Wartości i wektory własne 125
8. Formy kwadratowe 126
9. Geometria analityczna w przestrzeni 126
Literatura 129
6