Spis treści
Prolog
Status matematyki
Dziedziny tradycyjnej matematyki
Metody tradycyjnej matematyki
Zawartość tej książki
Dla kogo jest ta książka
CZĘŚĆ I. W STRONĘ KATEGORII
1. Kategorie – idea
1.1. Abstrakcja i analogie
1.2. Połączenia i unifikacja
1.3. Kontekst
1.4. Relacje
1.5. Bycie tym samym
1.6. Charakteryzowanie rzeczy według roli, jaką pełnią
1.7. Przybliżanie i oddalanie
1.8. Ramy i techniki
2. Abstrakcja
2.1. Czym jest matematyka?
2.2. Logika i abstrakcja – bliźniacze dyscypliny
2.3. Zapominanie szczegółów
2.4. Zalety i wady
2.5. Przekładanie analogii na rzeczywistość
2.6. Różne abstrakcje tej samej rzeczy
2.7. Abstrakcyjna podróż przez poziomy matematyki
3. Wzorce
3.1. Matematyka jako wykrywanie wzorców
3.2. Wzory jako analogie
3.3. Wzory jako oznaki struktury
3.4. Struktura abstrakcyjna jako rodzaj wzoru
3.5. Abstrakcja pomaga nam dostrzegać wzorce
4. Kontekst
4.1. Odległość
4.2. Światy liczb
4.3. Świat zerowy
5. Relacje
5.1. Relacje rodzinne
5.2. Symetria
5.3. Arytmetyka
5.4 Arytmetyka modularna
5.5. Czworokąty
5.6. Kraty czynników
6. Formalizmy
6.1. Rodzaje turystów
6.2. Dlaczego wyrażamy rzeczy w sposób formalny
6.3. Przykład: przestrzenie metryczne
6.4. Podstawy logiki
6.5. Przykład: arytmetyka modularna
6.6. Przykład: kraty czynników
7. Relacje równoważności
7.1. Badanie równości
7.2. Idea relacji abstrakcyjnych
7.3. Zwrotność
7.4. Symetria
7.5. Przechodniość
7.6. Relacje równoważności
7.7. Przykłady z matematyki
7.8. Ciekawe porażki
8. Kategorie – definicja
8.1. Dane – obiekty i relacje
8.2. Struktura – co możemy zrobić z danymi
8.3. Własności – wymagania dotyczące konstrukcji
8.4. Formalna definicja kategorii
8.5. Problem rozmiaru
8.6. Geometria łączności
8.7. Rysowanie przydatnych diagramów
8.8. Cel kompozycji
INTERLUDIUM. WYCIECZKA PO ŚWIECIE MATEMATYKI
9. Przykłady, które już pokazałam, ale nie wprost
9.1. Symetria
9.2. Relacje równoważności
9.3. Czynniki pierwsze
9.4. Systemy liczbowe
10. Zbiory uporządkowane
10.1. Zbiór uporządkowany liniowo
10.2. Zbiory częściowo uporządkowane
11. Małe struktury matematyczne
11.1. Małe, możliwe do narysowania przykłady
11.2. Monoidy
11.3. Grupy
11.4. Punkty i ścieżki
12. Zbiory i funkcje
12.1. Funkcje
12.2. Struktura – identyczności i kompozycja
12.3. Własności – prawa jednostkowe i łączność
12.4. Kategoria zbiorów i funkcji
13. Duże światy struktur matematycznych
13.1. Monoidy
13.2. Grupy
13.3. Zbiory częściowo uporządkowane
13.4. Przestrzenie topologiczne
13.5. Kategorie
13.6. Macierze
CZĘŚĆ II. UPRAWIANIE TEORII KATEGORII
14. Izomorfizmy
14.1. Bycie tym samym
14.2. Odwracalność
14.3. Izomorfizmy w kategorii
14.4. Traktowanie obiektów izomorficznych jako takich samych
14.5. Izomorfizmy zbiorów
14.6. Izomorfizmy dużych struktur
14.7. Inne zagadnienia dotyczące izomorfizmów
15. Moniki i epiki
15.1. Asymetria funkcji
15.2. Iniekcje i surjekcje
15.3. Moniki – kategorialne iniekcje
15.4. Epiki – kategorialne surjekcje
15.5. Związki z izomorfizmami
15.6. Monoidy
15.7. Inne zagadnienia
16. Własności uniwersalne
16.1. Rola a charakter
16.2. Skrajności
16.3. Definicja formalna
16.4. Unikalność
16.5. Obiekty końcowe
16.6. Sposoby na porażkę
16.7. Przykłady
16.8. Kontekst
16.9. Inne zagadnienia
17. Dualność
17.1. Obracanie strzałek
17.2. Kategoria dualna
17.3. Moniki i epiki
17.4. Obiekty początkowe i końcowe
17.5. Alternatywna definicja kategorii
18. Produkty i koprodukty
18.1. Idea produktów w kategorii
18.2. Definicja formalna
18.3. Produkty jako obiekty końcowe
18.4. Produkty w Set
18.5. Unikalność produktów w Set
18.6. Produkty w kategorii zbiorów częściowo uporządkowanych
18.7. Kategoria zbiorów częściowo uporządkowanych
18.8. Monoidy i grupy
18.9. Niektóre kluczowe morfizmy indukowane przez produkty
18.10. Dualność – koprodukty
18.11. Koprodukty w Set
18.12. Dekategoryfikacja – związki z arytmetyką
18.13. Koprodukty w innych kategoriach
18.14. Inne zagadnienia
19. Pullbacki i pushouty
19.1. Pullbacki
19.2. Pullbacki w Set
19.3. Pullbacki jako obiekty końcowe w jakiejś kategorii
19.4. Przykład: definiowanie kategorii za pomocą pullbacków
19.5. Pojęcie dualne – pushout
19.6. Pushouty w Set
19.7. Pushouty w topologii
19.8. Inne zagadnienia
20. Funktory
20.1. Tworzenie definicji
20.2. Funktory pomiędzy małymi przykładami
20.3. Funktory z małych, możliwych do narysowania kategorii
20.4. Funktory wolne i zapominania
20.5. Zachowanie i odzwierciedlanie struktury
20.6. Inne zagadnienia
21. Kategorie kategorii
21.1. Kategoria Cat
21.2. Kategorie końcowe i początkowe
21.3. Produkty i koprodukty kategorii
21.4. Izomorfizmy kategorii
21.5. Funktory pełne oraz wierne
22. Transformacje naturalne
22.1. Definicja na podstawie naszych intuicji
22.2. Uwaga na temat homotopii
22.3. Kształt
22.4. Kategorie funktorów
22.5. Diagramy i stożki nad diagramami
22.6. Izomorfizmy naturalne
22.7. Równoważność kategorii
22.8. Przykłady równoważności dużych kategorii
22.9. Kompozycja pozioma
22.10. Wymienność
22.11. Połączenie tego wszystkiego w jedną całość
23. Yoneda
23.1. Radość z Yonedy
23.2. Ponowne spojrzenie na bycie tym samym
23.3. Funktory reprezentowalne
23.4. Osadzenie Yonedy
23.5. Lemat Yonedy
23.6. Inne zagadnienia
24. Wyższe wymiary
24.1. Dlaczego wyższe wymiary?
24.2. Bezpośrednia definicja 2-kategorii
24.3. Powtórne spojrzenie na homsety
24.4. Od grafów bazowych do 2-grafów
24.5. Kategorie monoidalne
24.6. Ścisłość kontra słabość
24.7. Spójność
24.8. Degeneracja
24.9. n i nieskończoność
24.10. Morał z tej historii
Epilog. Myślenie kategorialne
DODATKI
Dodatek A. Alfabety
Dodatek B. Podstawy logiki
Dodatek C. Podstawy teorii mnogości
Dodatek D. Podstawy przestrzeni topologicznych
Słowniczek
Literatura
Podziękowania
Opinie
Na razie nie ma opinii o produkcie.