ELEMENTARNY WSTĘP DO TOPOLOGII

Opis

Celem podręcznika jest zapoznanie czytelnika z podstawami gałęzi matematyki zwanej topologią. Dziedzina ta rozwijała się szczególnie intensywnie na początku XX wieku, w czym istotny udział mieli polscy matematycy. Jednym z jej najważniejszych pojęć jest ciągłość. Topologia zajmuje się badaniem pewnych własności przestrzeni, które zostają zachowane przy działaniu przekształceń ciągłych. Bazując na intuicji geometrycznej, można uznać, że zbiory poddawane tego typu przekształceniom mogą znacząco zmieniać swój kształt (np. przez skręcanie czy rozciąganie), ale nie mogą być rozrywane. Dlatego też topologia zwana bywa czasem „gumową geometrią”. Topologia dostarcza cennych narzędzi badawczych innym dziedzinom matematyki, takim jak np. analiza funkcjonalna, analiza zespolona czy teoria równań różniczkowych. Podręcznik skierowany jest głównie do studentów początkowych lat studiów matematycznych. Aby w pełni przyswoić jego treść, konieczna jest znajomość teorii mnogości, podstaw analizy matematycznej, a także wskazane jest zapoznanie się z niektórymi pojęciami z algebry liniowej. Choć w tekście znajdują się też nawiązania do bardziej zaawansowanych wyników z pokrewnych dziedzin, ich zrozumienie nie wymaga od czytelnika dodatkowej wiedzy. W celu istotnego poszerzenia wiadomości z topologii zawartych w niniejszym podręczniku rekomendowane jest sięgnięcie do wielu pozycji literatury. Tekst podzielony jest na dwanaście różniących się tematycznie rozdziałów, z których każdy zakończony jest zestawem ćwiczeń pozwalających uzupełnić pominięte fragmenty rozumowań oraz zyskać biegłość w stosowaniu zdobytej wiedzy teoretycznej.

Spis treści

Wprowadzenie 9
Słowo wstępne 9
Zawartość podręcznika 10
Zastosowane oznaczenia 12

Rozdział 1. Przestrzenie metryczne 13
1.1. Definicja metryki. Przykłady przestrzeni metrycznych 13
1.2. Kule w przestrzeni metrycznej 21
1.3. Topologia generowana przez metrykę 23
1.4. Zagadnienie równoważności metryk 33
1.5. Zbieżność ciągów w przestrzeni metrycznej 35
1.6. Metryka pochodząca od normy 38
1.7. Norma pochodząca od iloczynu skalarnego 44
1.8. Ćwiczenia 48

Rozdział 2. Przestrzenie topologiczne 51
2.1. Definicja topologii. Przykłady przestrzeni topologicznych 51
2.2. Topologia indukowana 58
2.3. Wnętrze, domknięcie i brzeg zbioru 62
2.4. Zbiory gęste, brzegowe oraz nigdziegęste 75
2.5. Ośrodkowość przestrzeni topologicznej 78
2.6. Ćwiczenia 82

Rozdział 3. Twierdzenie Cantora i twierdzenie Baire’a 87
3.1. Średnica zbioru. Zstępujący ciąg zbiorów 87
3.2. Twierdzenie Cantora o zstępującym ciągu zbiorów domkniętych 91
3.3. Twierdzenie Baire’a 93
3.4. Wybrane zastosowania twierdzenia Baire’a 98
3.5. Ćwiczenia 99

Rozdział 4. Baza topologii i baza otoczeń punktu 101
4.1. Baza topologii i jej własności 101
4.2. Baza otoczeń punktu i jej własności 109
4.3. Ćwiczenia 115

Rozdział 5. Aksjomaty przeliczalności 117
5.1. Zależności między aksjomatami przeliczalności 117
5.2. Aksjomaty przeliczalności
a metryzowalność przestrzeni topologicznej 120
5.3. Aksjomaty przeliczalności
a ośrodkowość przestrzeni topologicznej 123
5.4. Podsumowanie 128
5.5. Ćwiczenia 130

Rozdział 6. Odwzorowania ciągłe i homeomorfizmy 131
6.1. Ciągłość w przestrzeniach topologicznych 131
6.2. Ciągłość w przestrzeniach metrycznych 138
6.3. Jednostajna ciągłość w przestrzeniach metrycznych 141
6.4. Granica jednostajnie zbieżnego ciągu
odwzorowań ciągłych 144
6.5. Przestrzeń odwzorowań ciągłych i ograniczonych 146
6.6. Przestrzeń odwzorowań ciągłych na przedziale [a, b]
o wartościach rzeczywistych 148
6.7. Odwzorowanie otwarte, odwzorowanie domknięte,
homeomorfizm 150
6.8. Przenoszenie topologii za pomocą bijekcji 156
6.9. Ćwiczenia 157

Rozdział 7. Topologia produktowa i topologia ilorazowa 161
7.1. Topologia produktu
skończenie wielu przestrzeni topologicznych 161
7.2. Topologia produktu dowolnie wielu
przestrzeni topologicznych 165
7.3. Odwzorowania ciągłe
o wartościach w przestrzeni z topologią˛ produktową 168
7.4. Ogólne własności topologii produktowej 169
7.5. Topologia ilorazowa 174
7.6. Ćwiczenia 179

Rozdział 8. Aksjomaty oddzielania, lemat Urysona i twierdzenie Tietzego 181
8.1. Podstawowe aksjomaty oddzielania i związki między nimi 181
8.2. Lemat Urysona. Aksjomat T3 1/2 193
8.3. Twierdzenie Tietzego 199
8.4. Ćwiczenia 206

Rozdział 9. Zwartość 207
9.1. Definicja zwartości 207
9.2. Zwartość a ciągowa zwartość w przestrzeni metrycznej 210
9.3. Zwartość a domkniętość zbioru 216
9.4. Zwartość a domkniętość i ograniczoność zbioru
w przestrzeni metrycznej 219
9.5. Zwartość a ośrodkowość przestrzeni metrycznej 223
9.6. Zwartość a zupełność przestrzeni metrycznej 224
9.7. Jednostajna ciągłość a zwartość 226
9.8. Twierdzenie Weierstrassa 227
9.9. Przestrzeń odwzorowań ciągłych
na zwartej przestrzeni metrycznej 231
9.10. Twierdzenie Arzeli–Ascolego 232
9.11. Przestrzeń zwarta jako przestrzeń normalna 235
9.12. Kryterium zwartości Riesza 237
9.13. Zwartość produktu przestrzeni zwartych 238
9.14. Przestrzenie Lindelöfa 241
9.15. Lokalna zwartość. Uzwarcenie Aleksandrowa 243
9.16. Parazwartość 248
9.17. Ćwiczenia 251

Rozdział 10. Spójność 253
10.1. Definicja spójności.
Warunki równoważne dotyczące spójności 253
10.2. Obraz zbioru spójnego przez odwzorowanie ciągłe 258
10.3. Badanie spójności za pomocą zbiorów rozgraniczonych 262
10.4. Spójność produktu przestrzeni spójnych 269
10.5. Składowe spójne 270
10.6. Drogowa spójność i łukowa spójność 273
10.7. Lokalna spójność 277
10.8. Ćwiczenia 280

Rozdział 11. Twierdzenia o punkcie stałym 283
11.1. Twierdzenie Banacha o punkcie stałym 283
11.2. Twierdzenie Brouwera o punkcie stałym 286
11.3. Ćwiczenia 289

Rozdział 12. Elementy teorii homotopii 291
12.1. Homotopijność odwzorowań 291
12.2. Grupa podstawowa przestrzeni topologicznej 293
12.3. Hipoteza Poincarégo 301
12.4. Ćwiczenia 305
Bibliografia 307
Skorowidz 309