NOWOCZESNE PRÓBKOWANIE W CYFROWYM PRZETWARZANIU SYGNAŁÓW

Nowoczesne próbkowanie w cyfrowym przetwarzaniu sygnałów
J. Misiurewicz

W prezentowanej publikacji przedstawiono aktualny stan wiedzy praktycznej z zakresu próbkowania – od podstaw do najnowszych osiągnięć w tej dziedzinie, z silnym akcentem na ich zastosowania. Zagadnienie próbkowania jest nierozerwalnie związane z odtworzeniem sygnału – lub jego istotnych cech – na podstawie pobranych próbek; dlatego znaczna część materiału poświęcona jest odtwarzaniu (rekonstrukcji) sygnału lub parametrów jego modelu. W książce przedstawiono (rozdział 1) najczęściej wykorzystywane, klasyczne próbkowanie równomierne sygnałów dolnopasmowych i pasmowych (tzw. podpróbkowanie), pokazując różne przyczyny błędów, które mogą wystąpić w praktyce. Następnie pokazano, w jaki sposób wykorzystuje się właściwości sygnałów okresowych i powtarzalnych, aby przekroczyć ograniczenia sprzętowe dotyczące częstotliwości próbkowania równomiernego (rozdział 2). W kolejnych rozdziałach przedstawiono możliwości, jakie niesie próbkowanie nierównomierne (rozdz. 3), a następnie zaprezentowano nowoczesną, stosunkowo niedawno powstałą teorię oszczędnego próbkowania – Compressed Sensing – (rozdział 4) wraz z przykładami jej praktycznego zastosowania (rozdział 5), przytoczonymi na podstawie własnych prac autora z dziedziny radiolokacji i literatury dotyczącej innych obszarów zastosowań.

Wiele zagadnień w tej książce trzeba było pominąć, szczególnie w zakresie wciąż rozwijającej się techniki oszczędnego próbkowania i jej zastosowań. Ze względu na ograniczoną objętość książki pominięto również zagadnienia próbkowania sygnałów wielowymiarowych (np. obrazów). Wszystkie zagadnienia przedstawiono z punktu widzenia inżyniera zajmującego się cyfrowym przetwarzaniem sygnałów. Autor postawił sobie za zadanie opisanie trudnych pojęć w sposób przystępny, zakładając u Czytelnika tylko podstawową wiedzę z dziedziny algebry i analizy. Dzięki temu książka może być przydatna inżynierom i naukowcom nie tylko z dyscyplin elektronicznych, ale też pokrewnych na poziomie studiów II i III stopnia. Czytelnikom zainteresowanych bardziej matematycznym opisem teorii zaleca się więc skorzystanie ze wskazówek kierujących ich do obszernej bibliografii.

Spis treści
Wykaz skrótów 7
Wykaz symboli matematycznych 9
Wstęp 13
Rozdział 1. Podstawy – klasyczna teoria próbkowania i klasyczne zastosowania 15
1.1. Klasyczne próbkowanie sygnału 17
1.2. Twierdzenie o próbkowaniu (Whittakera-Kotielnikowa-Shannona-Nyquista) 21
1.3. Podpróbkowanie 22
1.4. Nadpróbkowanie 25
1.5. Odtwarzanie sygnału z próbek 28
1.5.1. Odtwarzanie sygnału dolnopasmowego 29
1.5.2. Odtwarzanie sygnału pasmowego 33
1.6. Układy próbkująco-pamiętające 33
1.7. Źródła błędów w próbkowaniu 35
1.7.1. Założenia twierdzenia o próbkowaniu a świat rzeczywisty 36
1.7.2. Próbkowanie i szum w sygnale 36
1.7.3. Niestałość chwil próbkowania (jitter) 39
1.7.4. Uśrednianie sygnału przez układ próbkujący 40
1.7.5. Usuwanie zakłóceń dzięki uśrednianiu sygnału 43
1.7.6. Błędy próbkowania wielokanałowego 44
Rozdział 2. Próbkowanie sygnałów okresowych i powtarzalnych 47
2.1. Próbkowanie w czasie równoważnym 47
2.1.1. Próbkowanie z wyzwalaniem okresowym (stroboskopowe) 48
2.1.2. Próbkowanie losowe z przeplotem 49
2.2. Metoda „z próbkowaniem czasu” 51
2.3. Próbkowanie bez wyzwalania (triggerless) 52
2.4. Uwagi implementacyjne 55
Rozdział 3. Próbkowanie nierównomierne w ujęciu tradycyjnym 57
3.1. Podstawy teoretyczne 58
3.2. Zastosowanie próbkowania nierównomiernego w radiolokacji 61
3.2.1. Podstawy działania radaru 62
3.2.2. Zawężenie modelu sygnału w celu uzyskania jednoznaczności 64
4 Spis treści
3.2.3. Niejednoznaczność prędkości i nierównomierne próbkowanie
w impulsowym radarze dopplerowskim 66
3.2.4. Chińskie twierdzenie o resztach 68
3.2.5. Dowód chińskiego twierdzenia o resztach 68
3.2.6. Algorytm rozwiązywania niejednoznaczności 70
3.2.7. Pomiar częstotliwości nierównomiernie spróbkowanego sygnału 71
3.3. Przykład próbkowania adaptowanego do danych – próbkowanie
elektrokardiogramu w chwilach przekroczenia poziomów 72
3.3.1. Nierównomierne próbkowanie sygnału EKG 73
3.3.2. Odtworzenie sygnału EKG próbkowanego nierównomiernie 76
Rozdział 4. Oszczędne próbkowanie (Compressed Sensing) 79
4.1. Odtwarzanie sygnału z niezupełnego pomiaru 79
4.1.1. Niejednoznaczność zagadnienia odwrotnego 81
4.1.2. Ujednoznacznienie z zawężaniem modelu sygnału 82
4.1.3. Model rzadki 82
4.1.4. Historia i dzień dzisiejszy przetwarzania sygnałów o modelu rzadkim 82
4.1.5. Uwagi terminologiczne 84
4.2. Podstawy matematyczne 85
4.2.1. Sygnał rzadki 86
4.2.2. Sygnał kompresowalny 87
4.2.3. Normy i quasi-normy p 88
4.2.4. Notacja macierzowa 88
4.2.5. Proces pomiaru 90
4.2.6. Odtworzenie sygnału 92
4.2.7. Przykład odtwarzania sygnału metodami 2 i rzadkimi 94
4.3. Warunki poprawnego odtworzenia sygnału 97
4.3.1. Ograniczenia wynikające z teorii informacji 97
4.3.2. Własność jądra P (Null Space Property) 98
4.3.3. Własność ograniczonej izometrii (Restricted Isometry Property – RIP) 99
4.3.4. Spójność 99
4.3.5. Konstrukcje probabilistyczne 102
4.3.6. Bayesowskie oszczędne próbkowanie 105
4.4. Algorytmy 106
4.4.1. Proste przeszukanie 107
4.4.2. Algorytmy zachłanne 107
4.4.3. Algorytmy optymalizacyjne 113
4.4.4. Algorytmy z przybliżeniem quasi-normy 0 funkcjami
różniczkowalnymi – SL0 i 2DSL0 115
4.4.5. Algorytmy bayesowskiego oszczędnego próbkowania 118
4.4.6. Metody uczenia maszynowego 120
4.4.7. Specjalne konstrukcje macierzy pomiaru 122
4.4.8. Wybór odpowiedniego algorytmu 123
4.4.9. Uwagi dotyczące praktycznej realizacji algorytmów 124
Rozdział 5. Przykłady zastosowań oszczędnego próbkowania 125
Spis treści 5
5.1. Kamera jednopikselowa 125
5.2. Rekonstrukcja obrazu w magnetycznym rezonansie jądrowym (MRI) 128
5.3. Konwerter szerokopasmowy z modulacją (MWC) 130
5.4. Radar MTI (z nierównomiernym próbkowaniem) 133
5.4.1. Oszczędne próbkowanie w radarze MTI 133
5.4.2. Spójność macierzy pomiarowej dla radarów MTI/MTD 137
5.4.3. Eksperymenty z symulowanymi sygnałami 141
5.4.4. Wnioski dotyczące odtwarzania częstotliwości Dopplera 145
5.5. Radar SAR 146
5.5.1. Synteza apertury w radarze SAR 147
5.5.2. Radar szumowy SAR 150
5.5.3. Próbkowanie przestrzenne w radarze SAR 152
5.5.4. Zastosowanie oszczędnego próbkowania w radarze SAR 153
5.5.5. Wyniki symulacji 155
5.5.6. Eksperymenty z rzeczywistym sygnałem 160
5.5.7. Omówienie wyników 162
5.5.8. Podsumowanie rekonstrukcji obrazu SAR z danych podpróbkowanych 164
5.6. Tomografia SAR 165
5.7. Badania struktury cząsteczek metodą NMR 166
5.8. Niskomocowa akwizycja sygnału EEG 168
Podsumowanie 171
Bibliografia 173